トポロジー リュック。 クライミングに着想、新ブランド「トポロジー」が初上陸

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トポロジー リュック

コーヒーカップからドーナツ()への連続変形(の一種)とその逆 の一分野、 位相幾何学(いそうきかがく、: topology, トポロジー )は、その名称が: (「位置」「場所」)と (「言葉」「学問」) に由来し、「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形(かたち。 あるいは「空間」)を連続変形(伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと)しても保たれる性質( または 位相不変量)に焦点を当てたものである。 位相的性質において重要なものには、およびなどが挙げられる。 位相幾何学は、、、変換といった概念の研究を通じて、およびから生じた分野である。 このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」(: geometria situs)および「位置の解析」(: analysis situs)を見越したにまで遡れる。 の「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題およびがこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。 用語 topology は19世紀に ()によって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。 20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。 General topology は位相の基礎となる側面を確立し、位相空間の性質を研究し、位相空間特有の概念について研究する。 別の言い方をすると、「与えられた集合をとするようなに関して研究する」分野である。 これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念(やなどの話題を含む)を扱う 点集合位相 point-set topology も含まれる。 は、やなどの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる。 は上のを扱う分野である。 とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 は主としておよびそれらの別の多様体へのについて研究する。 特に活発なのが、四次元(以下)の多様体について調べる であり、これにはについて研究するも含まれる。 19 世紀にガウスはを線積分により表示する公式を与え、また後半紀にが現在と呼ばれる概念を提出し、は曲面の上の 2 つのの解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するをまとめた。 これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のの一連の研究による。 は 1895 年の論文「 ()」の中で、およびの概念を導入した。 これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。 現代的な位相幾何学は 19 世紀に後半に確立されたを大きな基盤として成り立っている。 集合論の祖のひとりであるはの研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している。 カントール、、 ()、、 ()、らの研究を取りまとめる形で(今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている)の概念を確立したのはで、1906 年のことである。 「位相空間」という用語を導入したのはで、1914 年に今日ではと呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年、の手による。 主要な概念 [ ] 集合上の位相 [ ] 詳細は「」を参照 位相(トポロジー )は、大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に関連があるのかを示す、この分野の中心的な数学的構造である。 一つの集合には複数の異なる位相が入り得る。 例えば、、、およびは異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる。 X の部分集合は、開でも閉でもある()こともあれば、そのどちらでもないこともある。 空集合と X 自身は常に開かつ閉である。 点 x を含む開集合は x の(開)と呼ばれる。 連続写像と同相写像 [ ] 詳細は「」および「」を参照 位相空間から別の位相空間へのが 連続であるとは、任意の開集合の逆像が開であるときに言う。 これは、実数を実数へ写す写像(ただし実数直線の位相は通常の位相を入れる)の場合には、におけるの定義と同値である。 連続写像がかつであって、その逆写像もまた連続となるならば、その写像は(あるいは単に同相)と呼ばれ、また写像の定義域はその像と同相であると言う。 これはこの写像が位相の間の写像を自然に引き起こすということもできる。 互いに同相な二つの空間は、同一の位相的性質を持ち、従って位相的には同じ空間と考えることができる。 例えば立方体と球面は同相であり、同様にコーヒーカップとドーナツは同相だが、他方円とドーナツは同相でない。 多様体 [ ] 詳細は「」を参照 位相空間論( 一般位相)は位相に関する集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の分野である。 位相空間論は、およびを含む位相幾何学の他の分野の大部分の基礎となる。 点集合位相とも呼ばれる。 点集合位相における基本概念は、、である。 直観的に言えば、連続写像は近くの点を近くに写す、コンパクト集合は任意に小さな有限個の集合で被覆できる、連結集合は分離された二つの部分に分割されない、ということである。 ここで用いた「近く」「任意に小さい」「分離した」といった表現は何れも開集合を用いて明確な言葉に表される。 「開集合」の選び方を変更すれば、それにともなって連続写像やコンパクト集合や連結集合の意味するものも変更される。 のそれぞれを 位相と呼ぶ。 位相を備えた集合はと呼ばれる。 は位相空間の重要なクラスであり、そこでは距離函数が任意の二点間に距離と呼ばれる数を割り当てることができる。 距離を持つことで多くの証明が簡明になり、またよく知られた位相空間の多くが距離空間になる。 代数的位相幾何学 [ ] 詳細は「」を参照 微分位相幾何学は上のを扱う分野である。 とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 より精確に述べれば、微分位相幾何学は多様体上に ()が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する。 滑らかな多様体はほかに余計な幾何学的構造(これらは微分位相幾何学において存在するある種の同値性や ()の妨げとなる)を持つ多様体よりは「柔らかい」。 例えば、体積やは同一の滑らかな多様体上で相異なる幾何学的構造を区別することのできる不変量である。 つまり、ある種の多様体を滑らかに「平坦にする」 "flatten out" ことができたとしても、それには空間を歪める必要があるかもしれないし、その結果として曲率や体積が変わってしまうかもしれない。 幾何学的位相幾何学 [ ] 詳細は「」を参照 幾何学的位相幾何学は主に低次元(二、三、四次元)の多様体に焦点を当ててその形状を調べる位相幾何学の分野であるが、より高次元の位相幾何学も一部には含む。 幾何学的位相幾何学の主題には例えば、 ()、 ()および(平面および高次元の) ()などがある。 高次元の位相幾何学において、は基本的な不変量であり、 ()は鍵となる理論である。 低次元位相幾何学は、二次元における(任意の曲面が一定曲率計量をもつ、幾何学的に言えば正曲率(球面的)、零曲率(平坦)、負曲率(双曲的)の三種類の何れかになる)や三次元における(任意の三次元多様体は、各々は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる)に現れているように、極めて幾何学的である。 二次元の位相幾何学は一変数の複素幾何として調べることができる(リーマン面は複素曲線である)。 一意化定理により、計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である。 また四次元位相幾何学は二変数の複素幾何(複素曲面)の観点から調べることができるが、任意の余次元多様体が複素構造を持つわけではない。 一般化 [ ] 場合によっては、位相幾何学の道具が必要だが「点集合」は使えないという場面に遭遇することもある。 ()(非点集合的位相空間論)では理論の基本概念として開集合のを考える。 一方、は任意の上に定義される構造で、それら圏上にを定義することが可能になり、一般コホモロジー論の定義を持ち込むことができる。 応用 [ ] この節のが望まれています。 位相幾何学の手法を用いると、抽象的な接続関係に関する性質や微小変形で不変な大域的な性質を扱うことができる。 数学の一分野として整理される以前より、位相幾何学的手法が単発的に使われてきた 空間中の二つの電流の相互作用に対する、ガウスの線積分表示など が、二十世紀後半には特に他分野との関連が深まり、現在でも応用領域は広がっている。 応用領域 内容 の形状、素粒子の記述体系、の記述、、我々の世界に関する性質 は存在するか?など。 など分子構造。 をなす分子の、形状による機能や変形。 論理体系のを展開する枠組みとしての利用、経路空間のホモロジーによる記述。 またネットワークの取り扱いにおいてはを手段として研究され、一般的にはとして知られている。 また、人工知能の研究分野では「トポロジカル・データ・アナリシス」 Topological data analysis 技術が発展の見込みにある。 形態形成、経済現象の記述。 3DCGにおけるは変形を利用している。 また立体計測やデジタルで生成された複雑なモデルを単純な構造のモデルに作り変える操作をリトポロジー Retopology と呼ぶ。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• もっとも狭義には、空間内に「近さ」や「極限」の概念を導入する概念である 位相、より広義には本項で言う 位相幾何学の意味で用いられ、また位相幾何学の同義語として 位相数学も用いられるが、最も広義には トポロジーおよび 位相数学は、位相幾何学を展開する基礎付けを与える 一般位相(あるいは 位相空間論)を指して用いられる 世界大百科事典『』 - 、 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『』 - 、ほか。 554n)。 出典 [ ]• Oxford Dictionaries• 日本大百科全書 ニッポニカ 『』 -• 「トポロジーとその「応用」の可能性」古田幹雄(応用数理 15 1 pp. 49-52 20050325)• Munkres, James R. Topology. Vol. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008. and. Lee, John M. 2006. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. Budney, Ryan 2011年. mathoverflow. net. 2013年12月29日閲覧。 Sher and R. Daverman 2002 , Handbook of Geometric Topology, North-Holland. , 1983, "" Bulletin of the American Mathematical Society 8 1 : 41-53. 1962. Grothendieck topologies. Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. 参考文献 [ ] は列挙するだけでなく、などを用いてしてください。 記事のにご協力をお願いいたします。 ( 2013年4月)• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989,. ; Elements of Mathematics: General Topology, Addison—Wesley 1966. Breitenberger, E. 2006. In James, I. History of Topology. North Holland. 1975. General Topology. 2006. Booksurge. Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing , , and. 2006. Thunder's Mouth Press. Provides a popular introduction to topology and geometry• Gemignani, Michael C. 1990 [1967], Elementary Topology 2nd ed. , Dover Publications Inc. , 関連項目 [ ]• 外部リンク [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するメディアがあります。 ウィキブックスに 関連の解説書・教科書があります。 Hazewinkel, Michiel, ed. 2001 , , , , ,• Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov. Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas. , a historical essay by. ホモロジー群と基本群について.

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トポロジー(とぽろじー)とは

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コーヒーカップからドーナツ()への連続変形(の一種)とその逆 の一分野、 位相幾何学(いそうきかがく、: topology, トポロジー )は、その名称が: (「位置」「場所」)と (「言葉」「学問」) に由来し、「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形(かたち。 あるいは「空間」)を連続変形(伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと)しても保たれる性質( または 位相不変量)に焦点を当てたものである。 位相的性質において重要なものには、およびなどが挙げられる。 位相幾何学は、、、変換といった概念の研究を通じて、およびから生じた分野である。 このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」(: geometria situs)および「位置の解析」(: analysis situs)を見越したにまで遡れる。 の「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題およびがこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。 用語 topology は19世紀に ()によって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。 20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。 General topology は位相の基礎となる側面を確立し、位相空間の性質を研究し、位相空間特有の概念について研究する。 別の言い方をすると、「与えられた集合をとするようなに関して研究する」分野である。 これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念(やなどの話題を含む)を扱う 点集合位相 point-set topology も含まれる。 は、やなどの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる。 は上のを扱う分野である。 とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 は主としておよびそれらの別の多様体へのについて研究する。 特に活発なのが、四次元(以下)の多様体について調べる であり、これにはについて研究するも含まれる。 19 世紀にガウスはを線積分により表示する公式を与え、また後半紀にが現在と呼ばれる概念を提出し、は曲面の上の 2 つのの解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するをまとめた。 これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のの一連の研究による。 は 1895 年の論文「 ()」の中で、およびの概念を導入した。 これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。 現代的な位相幾何学は 19 世紀に後半に確立されたを大きな基盤として成り立っている。 集合論の祖のひとりであるはの研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している。 カントール、、 ()、、 ()、らの研究を取りまとめる形で(今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている)の概念を確立したのはで、1906 年のことである。 「位相空間」という用語を導入したのはで、1914 年に今日ではと呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年、の手による。 主要な概念 [ ] 集合上の位相 [ ] 詳細は「」を参照 位相(トポロジー )は、大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に関連があるのかを示す、この分野の中心的な数学的構造である。 一つの集合には複数の異なる位相が入り得る。 例えば、、、およびは異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる。 X の部分集合は、開でも閉でもある()こともあれば、そのどちらでもないこともある。 空集合と X 自身は常に開かつ閉である。 点 x を含む開集合は x の(開)と呼ばれる。 連続写像と同相写像 [ ] 詳細は「」および「」を参照 位相空間から別の位相空間へのが 連続であるとは、任意の開集合の逆像が開であるときに言う。 これは、実数を実数へ写す写像(ただし実数直線の位相は通常の位相を入れる)の場合には、におけるの定義と同値である。 連続写像がかつであって、その逆写像もまた連続となるならば、その写像は(あるいは単に同相)と呼ばれ、また写像の定義域はその像と同相であると言う。 これはこの写像が位相の間の写像を自然に引き起こすということもできる。 互いに同相な二つの空間は、同一の位相的性質を持ち、従って位相的には同じ空間と考えることができる。 例えば立方体と球面は同相であり、同様にコーヒーカップとドーナツは同相だが、他方円とドーナツは同相でない。 多様体 [ ] 詳細は「」を参照 位相空間論( 一般位相)は位相に関する集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の分野である。 位相空間論は、およびを含む位相幾何学の他の分野の大部分の基礎となる。 点集合位相とも呼ばれる。 点集合位相における基本概念は、、である。 直観的に言えば、連続写像は近くの点を近くに写す、コンパクト集合は任意に小さな有限個の集合で被覆できる、連結集合は分離された二つの部分に分割されない、ということである。 ここで用いた「近く」「任意に小さい」「分離した」といった表現は何れも開集合を用いて明確な言葉に表される。 「開集合」の選び方を変更すれば、それにともなって連続写像やコンパクト集合や連結集合の意味するものも変更される。 のそれぞれを 位相と呼ぶ。 位相を備えた集合はと呼ばれる。 は位相空間の重要なクラスであり、そこでは距離函数が任意の二点間に距離と呼ばれる数を割り当てることができる。 距離を持つことで多くの証明が簡明になり、またよく知られた位相空間の多くが距離空間になる。 代数的位相幾何学 [ ] 詳細は「」を参照 微分位相幾何学は上のを扱う分野である。 とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。 より精確に述べれば、微分位相幾何学は多様体上に ()が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する。 滑らかな多様体はほかに余計な幾何学的構造(これらは微分位相幾何学において存在するある種の同値性や ()の妨げとなる)を持つ多様体よりは「柔らかい」。 例えば、体積やは同一の滑らかな多様体上で相異なる幾何学的構造を区別することのできる不変量である。 つまり、ある種の多様体を滑らかに「平坦にする」 "flatten out" ことができたとしても、それには空間を歪める必要があるかもしれないし、その結果として曲率や体積が変わってしまうかもしれない。 幾何学的位相幾何学 [ ] 詳細は「」を参照 幾何学的位相幾何学は主に低次元(二、三、四次元)の多様体に焦点を当ててその形状を調べる位相幾何学の分野であるが、より高次元の位相幾何学も一部には含む。 幾何学的位相幾何学の主題には例えば、 ()、 ()および(平面および高次元の) ()などがある。 高次元の位相幾何学において、は基本的な不変量であり、 ()は鍵となる理論である。 低次元位相幾何学は、二次元における(任意の曲面が一定曲率計量をもつ、幾何学的に言えば正曲率(球面的)、零曲率(平坦)、負曲率(双曲的)の三種類の何れかになる)や三次元における(任意の三次元多様体は、各々は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる)に現れているように、極めて幾何学的である。 二次元の位相幾何学は一変数の複素幾何として調べることができる(リーマン面は複素曲線である)。 一意化定理により、計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である。 また四次元位相幾何学は二変数の複素幾何(複素曲面)の観点から調べることができるが、任意の余次元多様体が複素構造を持つわけではない。 一般化 [ ] 場合によっては、位相幾何学の道具が必要だが「点集合」は使えないという場面に遭遇することもある。 ()(非点集合的位相空間論)では理論の基本概念として開集合のを考える。 一方、は任意の上に定義される構造で、それら圏上にを定義することが可能になり、一般コホモロジー論の定義を持ち込むことができる。 応用 [ ] この節のが望まれています。 位相幾何学の手法を用いると、抽象的な接続関係に関する性質や微小変形で不変な大域的な性質を扱うことができる。 数学の一分野として整理される以前より、位相幾何学的手法が単発的に使われてきた 空間中の二つの電流の相互作用に対する、ガウスの線積分表示など が、二十世紀後半には特に他分野との関連が深まり、現在でも応用領域は広がっている。 応用領域 内容 の形状、素粒子の記述体系、の記述、、我々の世界に関する性質 は存在するか?など。 など分子構造。 をなす分子の、形状による機能や変形。 論理体系のを展開する枠組みとしての利用、経路空間のホモロジーによる記述。 またネットワークの取り扱いにおいてはを手段として研究され、一般的にはとして知られている。 また、人工知能の研究分野では「トポロジカル・データ・アナリシス」 Topological data analysis 技術が発展の見込みにある。 形態形成、経済現象の記述。 3DCGにおけるは変形を利用している。 また立体計測やデジタルで生成された複雑なモデルを単純な構造のモデルに作り変える操作をリトポロジー Retopology と呼ぶ。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• もっとも狭義には、空間内に「近さ」や「極限」の概念を導入する概念である 位相、より広義には本項で言う 位相幾何学の意味で用いられ、また位相幾何学の同義語として 位相数学も用いられるが、最も広義には トポロジーおよび 位相数学は、位相幾何学を展開する基礎付けを与える 一般位相(あるいは 位相空間論)を指して用いられる 世界大百科事典『』 - 、 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『』 - 、ほか。 554n)。 出典 [ ]• Oxford Dictionaries• 日本大百科全書 ニッポニカ 『』 -• 「トポロジーとその「応用」の可能性」古田幹雄(応用数理 15 1 pp. 49-52 20050325)• Munkres, James R. Topology. Vol. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008. and. Lee, John M. 2006. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. Budney, Ryan 2011年. mathoverflow. net. 2013年12月29日閲覧。 Sher and R. Daverman 2002 , Handbook of Geometric Topology, North-Holland. , 1983, "" Bulletin of the American Mathematical Society 8 1 : 41-53. 1962. Grothendieck topologies. Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. 参考文献 [ ] は列挙するだけでなく、などを用いてしてください。 記事のにご協力をお願いいたします。 ( 2013年4月)• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989,. ; Elements of Mathematics: General Topology, Addison—Wesley 1966. Breitenberger, E. 2006. In James, I. History of Topology. North Holland. 1975. General Topology. 2006. Booksurge. Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing , , and. 2006. Thunder's Mouth Press. Provides a popular introduction to topology and geometry• Gemignani, Michael C. 1990 [1967], Elementary Topology 2nd ed. , Dover Publications Inc. , 関連項目 [ ]• 外部リンク [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するメディアがあります。 ウィキブックスに 関連の解説書・教科書があります。 Hazewinkel, Michiel, ed. 2001 , , , , ,• Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov. Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas. , a historical essay by. ホモロジー群と基本群について.

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クライミングに着想、新ブランド「トポロジー」が初上陸

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トポロジーさんからMultipitch Backpack頂きましたのでアイテムレビューと普段使ってる持ち物を入れてみて使用感などをご紹介します。 official ————————————————— つき局長 2018. 21生まれ つきパパ 178cm70kg つきママ 153cm00kg ご視聴ありがとうございます。 TSUKI TVでは 最新ファッションニュースまとめからメンズ、レディース、キッズ、ベビーの ファッションアイテムレビューやコーディネートから インテリアアイテム、子育てアイテムの紹介をしてます。 宜しければチャンネル登録宜しくお願いいたします。 ご質問などコメントお待ちしております。 ご相談ご依頼は下記メールにて宜しくお願いいします。 tsukich. official gmail. com ——————————————————— 公式ブログ 公式インスタグラム 【つきパパ・つきママ】 公式インスタグラム 【つき局長】 公式ツイッター 公式ユーチューブ 【TSUKI TV】 ——————————————————— 【TSUKI TV】チャンネル ファッションch メンズファッションch レディースファッションch キッズファッションch ファッションニュースch ライフスタイルch 子育てch ———————————————————.

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